利用泰勒展开式求函数的极限

在《利用等价无穷小代换求极限的技巧》(http://www.saikr.com/a/2765)一文中，我简单地提及了可以使用泰勒展开式寻求等价无穷小代换从而求函数的极限。本文中我将进一步展开介绍利用泰勒展开式求函数极限的技巧。很多情况，我们面对的是一个\(0\over0\)型，分子或分母上是等价无穷小之差的形式，不可以直接用等价无穷小进行代换，并且欲用洛必达法则，求导数很麻烦。这种情况下，利用泰勒展开式寻找等价无穷小替换求极限一般来说是可行的方法。

利用泰勒展开式求函数的极限，其本质还是进行等价无穷小代换，只不过这种等价无穷小代换是通过泰勒展开得到的。泰勒展开式的本质就是试图利用一个多项式来逼近函数，展开到我们所需要的“精确度”。我们也可以通过泰勒展开来看到等价无穷小量的“细致区别”。首先我们通过一个例子来看泰勒展开式求极限是怎样进行的。

例1：求极限\(\lim_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}\)

分析：这里分母是\(x^3\),能求出极限，说明分子一定是\(x^3\)的同阶或者高阶无穷小，一般来说就是同阶无穷小了。虽然这里\(\tan x\sim \sin x\),但不可以认为它们就是完全相同的。现在通过泰勒展开到\(x^3\)来看它们的差。

注意到\(\tan x=x+{x^3\over3}+o(x^3)\),\(\sin x=x-{x^3\over6}+o(x^3)\),可以看出，它们的泰勒展开式在\(x^3\)开始出现了差距。说它们是等价无穷小量，表明它们的差距相比\(\tan x\)或\(\sin x\)是高阶无穷小，但是并不是没有。那么我们就可以找到等价无穷小替换了，即\(\tan x-\sin x={1\over3}x^3-(-\frac{1}{6}x^3)+o(x^3)\sim {1\over2}x^3\).因此作等价无穷小代换后，可以求得极限。

\(\lim_{x\to0}\frac{\tan x-\sin x}{x^3}=\lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{2}x^3}{x^3}=\frac{1}{2}\).当然这个例子我们也可以不通过泰勒展开式，利用恒等变形得到等价无穷小代换，但通过此例我们可以看得泰勒公式的作用。很多时候，利用恒等变形得到等价无穷小代换是很吃力的，需要我们通过泰勒公式进行寻找。

那么，究竟应该展开到几项呢？是不是需要非常严格地写出泰勒展开式的每一项呢？一般来说，这种问题是\(0\over0\)型，并且\(\lim\)符号的下标是\(x\to0\).这个问题可以分成以下两种情况：

I.分子或分母之一本来就是\(x^n\)的形式的阶数显而易见

这种情况下，分子或分母要么是\(x^n(n\in N)\)的形式，要么很容易通过等价无穷小代换转化为\(x^n(n\in N)\)的形式。比如分母是这样的形式，如上面举的例子，分母就是\(x^3\).这时，对分子各“部件”进行泰勒展开的“目标”是明显的，就是展开到\(x^n\)为止，更高阶的项可以直接用\(o(x^n)\)来代替，写出来就没什么意义了。

例2：求极限\(\lim_{x\to0}\frac{e^x-e^{-x}}{x}\)

分析：分母是\(x\),因此如果用泰勒展开寻找等价无穷小代换，只需要把分子中的\(e^x\)与\(e^{-x}\)展开到\(x \)项就足够了。

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^x} - {e^{ - x}}}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{(1 + x + o(x)) - (1 - x + o(x))}}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2x + o(x)}}{x} = 2\)

当然这里用洛必达法则的方法也很简单。

例3：求极限\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left[ {x - {x^2}\ln \left( {1 + \frac{1}{x}} \right)} \right]\)

这里我们遇到的是\(x \to\infty\)的情形，不太好进行泰勒展开。我们可以采用换元的方法，令\(t=\frac{1}{x}\),换元之后\(t\to0\),不论是用泰勒展开式的方法还是用洛必达法则都方便了。

令\(t=\frac{1}{x}\)，\(原式=\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \left[ {\frac{1}{t} - \frac{1}{{{t^2}}}\ln (1 + t)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{t - \ln (1 + t)}}{{{t^2}}}\),换元后的形式，分母为\(t^2\),因而需要把\(ln(1+t)\)展开到\(t^2\)项。

\(\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{t - \ln (1 + t)}}{{{t^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{t - (t - \frac{{{t^2}}}{2} + o({t^2}))}}{{{t^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\frac{1}{2}{t^2} + o({t^2})}}{{{t^2}}} = \frac{1}{2}\)

II.分子和分母都不容易看出是几阶无穷小

这种情况是比较难的，不能事先就知道应该展开到什么程度。此时我们采用逐项展开的思路，即将两者逐项进行展开，看看哪一项开始出现了差距。

比如还是上面的\(\tan x-\sin x\),我们事先不知道需要展开到\(x^3\),该怎么寻找等价无穷小替换呢？

逐项展开，先展开到\(x\),\(\tan x=x+o(x),\sin x=x+o(x)\),看不出来差距，所以需要接着展开。

再写一项看看，\(\tan x=x+{x^3\over3}+o(x^3)\)，\(\sin x=x-{x^3\over6}+o(x^3)\)，这时候\(x^3\)的系数出现了差距，就不再需要继续展开了。

例4：求极限\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos x - {e^{ - \frac{{{x^2}}}{2}}}}}{{{x^2}\left[ {2x + \ln (1 - 2x)} \right]}}\)

这个式子分子和分母都不容易看到合适的无穷小代换，所以需要采取逐项展开的思路。先看分子，\(\cos x = 1 - \frac{{{x^2}}}{2} + o({x^2})\)，\({e^{ - \frac{{{x^2}}}{2}}} = 1 - \frac{{{x^2}}}{2} + o({x^2})\)，这样展开没有出现差距，所以需要继续展开。

\(\cos x = 1 - \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^4}}}{4} + o({x^4})\)，\({e^{ - \frac{{{x^2}}}{2}}} = 1 - \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{{\left( { - \frac{{{x^2}}}{2}} \right)}^2}}}{2} + o({x^4}) = 1 - \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^4}}}{8} + o({x^4})\)，展开到这里，\(x^4\)的系数出现了差距，因此不需要继续展开了，我们通过泰勒展开找到了合适的等价无穷小代换。同时我们也知道了分母上需要将\(\ln(1-2x)\)展开到平方项。

\(\ln (1 - 2x) = - 2x - \frac{{{{( - 2x)}^2}}}{2} + o({x^2}) = - 2x - 2{x^2} + o({x^2})\)

解：\(\begin{gathered} \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\cos x - {e^{ - \frac{{{x^2}}}{2}}}}}{{{x^2}\left[ {2x + \ln (1 - 2x)} \right]}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\left[ {1 - \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^4}}}{{4!}} + o({x^4})} \right] - \left[ {1 - \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^4}}}{8} + o({x^4})} \right]}}{{{x^2}\left[ {2x - 2x - 2{x^2} + o({x^2})} \right]}} \hfill \\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{ - \frac{1}{{12}}{x^4} + o({x^4})}}{{ - 2{x^4} + o({x^4})}} = \frac{1}{{24}} \hfill \\ \end{gathered} \)

总结：遇到这种不易用洛必达法则也难以直接进行等价无穷小代换的求极限问题，我们可以考虑通过泰勒展开式寻找等价无穷小代换来求极限。我们对求极限的方法储备应该多一些，不能满足于只知道洛必达法则或者等价无穷小，而不知道其他方法。遇到求极限的问题，要结合具体的形式寻找最好的方法。