关于函数连续性的一个误区

我们知道，可导函数一定连续。这说的是：如果函数\(f(x)\)可导，那么函数\(f(x)\)一定连续。反过来就不一定成立了，连续函数不一定可导，比如函数\(y=|x|\)是连续函数，但是在\(x=0\)处不可导。但是很多同学把“可导函数一定连续”当成了“导函数一定连续”，误认为“如果函数\(f(x)\)可导，那么函数\(f'(x)\)连续”。虽然很多基本初等函数的导函数也是连续的，但是这个说法是没有依据的。我们可以举出一个可导函数，它的导函数不连续。

比如函数\(f(x)=x^2\cos(\frac{1}{x})\)，并补充定义\(f(0)=0\),通过补充定义使得函数成为连续函数。首先此函数在\((-\infty,0)\)和\((0,+\infty)\)上都是可导的，要说明此函数可导只需说明它在\(x=0\)处可导。注意到\(\lim\limits_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to0}\frac{x^2\cos(\frac{1}{x})}{x}=\lim\limits_{x\to0}x\cos(\frac{1}{x})=0\),因此\(f'(0)\)存在且\(f'(0)=0\).因而函数是处处可导的。但是\(x\ne0\)时，\(f'(x)=2x\cos(\frac{1}{x})+\sin(\frac{1}{x})\)，这说明\(\lim\limits_{x\to0}f'(x)\)不存在，也就是说导函数在\(x=0\)处不连续。这就是一个函数可导但是导函数不连续的例子。

不过，虽然导函数不一定连续，但是我们可以肯定的是，导函数不存在第一类间断点。这是一个很有意思的结果，它表明导函数不连续的情况，它只会出现第二类间断点。上文所举的例子中，\(x=0\)就是\(f'(x)\)的第二间断点中的震荡间断点。关于此定理的证明可查阅相关文献。

什么时候我们可以说导数连续呢？这里我们有导数极限定理：

设函数\(f(x)\)在\(U(x_0)\)上连续，在\(U^0(x)\)上可导，极限\(\lim\limits_{x\to {x_0}}f'(x)\)存在,则函数\(f(x)\)在\(x_0\)处可导，且\(f'(x_0)=\lim\limits_{x\to x_0}f'(x)\).

这也就表明了导函数在\(x=x_0\)处连续。这需要先保证导函数的极限在该点处存在。上面所举的例子，导函数在该处极限不存在。这个结论的证明并不复杂，只需要简单使用中值定理，因此不予赘述。这个定理也是判断分段函数在“分界点”导数连续性的依据。

例1：设\(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {\frac{{1 - \sqrt {1 - x} }}{x},x < 0} \\ {a+ bx,x \geqslant 0} \end{array}} \right.\),(1)求\(a\)的值使\(f(x)\)处处连续；(2)求\(b\)的值，使\(f(x)\)处处可导

解：(1)显然函数在\((-\infty,0)\)和\((0,+\infty)\)上都连续，只需要使得函数在\(x = 0\)处连续。

\(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=a\),\(\lim\limits_{x\to0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to0^-}\frac{1-\sqrt{1-x}}{x}=\frac{1}{2}\)

\(\lim\limits_{x\to0^+}f(x)=\lim\limits_{x\to0^-}f(x)\\ \therefore a=\frac1{2}\)

(2)可导函数一定连续，\(\therefore a=\frac1{2}\)显然函数在\((-\infty,0)\)和\((0,+\infty)\)上都可导，只需要使得函数在在\(x = 0\)处可导。

\(f'(x+0)=\lim\limits_{x\to0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to0^+}\frac{bx}{x}=b\)

\(f'(0-0)=\lim\limits_{x\to0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim\limits_{x\to0^-}\frac{1-\frac{1}{2}x-\sqrt{1-x}}{x^2}=\frac{1}{8}\)

\(\therefore b=\frac{1}{8}\)

例2：设\(f(x)\)具有二阶导数，\(f(a)=0\)，\(g(x)=\left\{\begin{array}{}\frac{f(x)}{x-a},x\ne a,\\f'(a),x=a\end{array}\right.\),求\(g'(x)\)并证明\(g'(x)\)在\(x=a\)处连续

解：\(x\ne a\)时，\(g'(x)=\frac{f’(x)(x-a)-f(x)}{(x-a)^2}\)

\(g'(a)=\lim\limits_{x\to a}\frac{g(x)-g(a)}{x-a}=\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)-f'(a)(x-a)}{(x-a)^2}\\=\lim\limits_{x\to a}\frac{f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{1}{2}f''(x)(x-a)^2+o((x-a)^2)-f;(a)(x-a)}{(x-a)^2}\\=\frac{1}{2}f'’(a)\)

\(\therefore g'(x)=\left\{\begin{array}{}\frac{f’(x)(x-a)-f(x)}{(x-a)^2},x\ne a\\ \frac{1}{2}f'’(a),x=a\end{array}\right.\)

\(\lim\limits_{x\to a}g'(x)=\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)(x-a)-f(x)}{(x-a)^2}=\\ \lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)(x-a)-[f(a)+f'(a)(x-a)+{1\over2}f''(a)(x-a)^2+o((x-a)^2)}{(x-a)^2}\\ =\lim\limits_{x\to a}\left[\frac{f'(x)-f'(a)}{x-a}-{1\over2}f''(a)\right]=\frac1 2f''(a)\)

\(\therefore\)\(g'(x)\)在\(x=a\)处连续.

注意：这里无法断定\(f''(x)\)的连续性因此不能贸然使用洛必达法则，