数学｜如何理解极限的精确定义

在现代的数学分析（或高等数学）教材中，几乎所有的基本概念（连续、微分、积分）都建立在极限概念的基础之上，这是“为什么极限是我们高等数学接触到的第一个概念”的原因。不得不承认当时是很难理解书上给出的极限的定义以及证明，只是脑海中有个印象。

极限对于现代数学分析的重要性不言而喻，那么如何理解极限的精确定义呢？理解极限之前，我们首先要明白两个问题：（1）我们为什么要研究极限；（2）极限的概念是什么，怎么产生的。

为什么要研究极限

几乎所有的数学概念都有它们的实际意义，是从客观实际中抽象出来的数量之间的关系。极限问题的实际意义，最普遍的一个例子，就是通过做圆的内接正多边形来求圆的面积。为什么要通过这种方法求圆面积？这是因为圆是曲边形，我们没法按照正方形，矩形，三角形等等已有的直边形求面积法来直接计算。接下来我们来看极限的概念是怎么产生的：圆的内接正6边形的面积为  ，圆的内接正12边形的面积为  ，圆的内接正24边形的面积为  ，边数每次加倍，这些正多边形的面积按照边数由小到大排列成一列数  ， 越大， 边形的面积  就越大，这个  会不会无限增大呢，显然不会！ 的最大值就是我们需要求的圆的面积，而这个面积只要半径定了，它就是一个实数。

这就出现了一个概念：自然数由小到大变化时，有一个变量会随之变化， 越大， 也越大， 和  是同时慢慢地变大的，但是注意， 可以无限变大，但是  却不会，最终一定会等于一个实数，这个实数就是圆的面积。而我们需要求的这个实数的唯一办法，就是让  无限变大，这显然是不行的，因为没有最大的数， 无法取得最大的数这个现实，导致了无法等于圆的面积，然而，我们知道一个客观实际是：在取得最大数的时候，一定等于圆的面积。

极限的概念是什么

 变大的过程中， 也随之变大，但是  不会无限变大，它最终肯定要等于一个实数，即圆的面积，这个面积就是  的极限。看到了吗，极限是一个确定的实数。至于  比这个我们要求的确定的圆的面积小多少，我们根本不在乎，我们只知道这个面积一定存在。这个确定的实数，也就是这个极限要怎么得到？只有让  取无穷大才行，可是我们没办法让  取无穷大啊，这个无法取无穷大的现实，就是教科书上的极限定义中使用去心邻域的根本原因，不必使自变量取去心邻域的中心点，照样知道极限是存在的，就像这里， 无法取得无穷大，但是  最终的极限是一个实数是确定无疑的。

如何理解极限的精确定义

在知道我们为什么要研究极限以及极限的概念之后，我们以函数极限为例，唠唠如何理解极限的精确定义。在高等数学或者数学分析课本中，函数极限的精确定义如下：

设函数  在点  的去心领域内有定义，若存在常数  ，对于任意给定的正数 （无论它多么小），总存在正数  ，使得当  满足不等式  时，对应的函数值 都满足不等式：  ，那么常数  就叫做函数  当  时的极限，记作  。

这个定义有些复杂，可以借助下图帮助理解：

 是我们需要击中的目标，我们允许在击中目标时存在一定的误差，这个误差就是  。通过函数  ，我们可以调整射击的角度任意地接近于  ，射击的角度会存在误差，误差范围在  之内，当  时，射击角度误差为  的射击必须保证击中的目标在  的  领域内。无论  多么小，总能找到足够小的  使得击中的目标在  的  领域内。你不需要找到最优的  ，只要足够小的  的就行。

- END -