【非数学类-考试大纲】2024年第七届全国大学生数学竞赛暨数学精英挑战赛 数学竞赛（非数学类）考试大纲

高等数学部分

1.  一元函数的极限与连续性

（1） 函数的基本概念与操作。

（2） 数列极限与函数极限的定义及其性质。

（3） 无穷小、无穷大，高阶无穷大、高阶无穷小。

（4） 极限的基本性质。

（5） 函数的连续性，连续的局部性质、整体性质。

2.  一元函数微分学

（1） 导数和微分的概念。

（2） 导数的基本性质。

（3） 复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法。

（4） 高阶导数。

（5） 中值定理。

（6） 洛必达 (L ’Hospital) 法则。

（7） 微分学的应用（求极值、凹凸性、曲率、函数画图等）。

（8） 不定积分的计算（换元法、分部积分法、有理函数以及可化为有理函 数的不定积分的算法）。

3.  一元函数积分学

（1） 不定积分的基本性质、基本积分公式。

（2） 定积分的概念和基本性质。

（3） 定积分中值定理。

（4） 微积分学基本定理、牛顿-莱布尼茨 (Newton-Leibniz) 公式。

（5） 广义积分。

（6） 定积分的应用（面积、弧长、体积、物理应用）。

4.  常微分方程

（1） 常微分方程的基本概念。

（2） 分离变量法、齐次微分方程、一阶线性微分方程、可降阶的高阶微分 方程。

（4） 线性微分方程解的性质及解的结构定理。

（5） 常系数齐次线性微分方程。

（6） 常系数非齐次线性微分方程。

（7） 欧拉方程。

（8） 微分方程的简单应用。

5.  向量代数和空间解析几何

（1） 向量的概念与运算。

（2） 平面与直线。

（3） 曲面与曲线。

6.  多元函数微分学

（1） 多元函数的概念。

（2） 二元函数的极限和连续的概念，连续函数的局部性质、整体性质。

（3） 微分，可微与可导的关系。

（4） 链式法则、隐函数的求导。

（5） 方向导数和梯度。

（6） 高阶导数与泰勒公式。

（7） 无约束的极值、条件极值。

（8） 几何应用（切平面、法线等）

7.  多元函数积分学

（1） 二重积分和三重积分的概念及性质。

（2） 重积分的计算（重积分化累次积分、变量替换）。

（3） 曲线积分的定义及计算。

（4） 格林 (Green) 公式及其应用。

（5） 曲面积分的定义及计算。

（5） 高斯 (Gauss) 公式、斯托克斯 (Stokes) 公式、散度和旋度的概念 及计算。

（6） 应用。

8.  无穷级数

（1） 常数项级数的收敛与发散、级数的基本性质。

（2） 正项级数收敛性的判别法、交错级数的莱布尼茨判别法。

（3） 绝对收敛与条件收敛。

（4） 函数项级数的基本概念。

（5） 幂级数基本概念。

（6） 幂级数的分析性质。

（7） 幂级数展开。

（8） 傅立叶级数初步。

线性代数部分

1.  行列式

（1） 行列式的概念和基本性质.

（2） 行列式按行 (列) 展开定理，行列式的计算.

（3） 范德蒙德 (Vandermonde) 行列式, 行列式的乘法规则.

2.  矩阵

（1） 矩阵的概念, 单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、对称矩阵 和反对称矩阵以及它们的性质.

（2） 矩阵的线性运算、矩阵乘法、矩阵转置以及它们的运算规律, 方阵的 乘方与方阵乘积的行列式及其性质.

（3） 逆矩阵的概念与性质、矩阵可逆的充分必要条件, 可逆矩阵与伴随矩 阵的关系.

（4） 矩阵的初等变换、初等矩阵的性质、矩阵的等价、矩阵的秩, 用初等 变换求矩阵的秩和求逆矩阵的方法.